Page 1406 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

首先, 我们来求 M . 这表示, 我们需要求出 |f' (x)| 在 [0, 2] 上的最大
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值, 它实际上是 -f' (x). 由于二阶导 f'' (x) 在 时为 0, 并且在

那里其符号由负变为正, 故在 处 f' (x) 有一个局部最小值. 这意

味着, f' (x) 在 [0, 2] 上的最小值是 , 因此, |f' (x)| 的最大值

是 . 即 .

现在, 我们可以回到 B.1.1 节的积分估算中了. 那里, 我们使用了 10

个均匀划分的条纹来估算积分. 由于 a = 0, b = 2, ,

故我们有

这大约是 0.171 553. 注意, 不管你使用左端点、右端点或中间的某个

点作为 c , 都不要紧. (在 B.1.1 节, 我们使用了右端点和中点来求两个
n
不同的估算, 它们都精确到大概 ±0.171 553.)

我们再来看看梯形法则. 在 B.2 节, 我们使用了 5 个宽度为 h = 2/5

的梯形来估算积分 (故 n = 5). 为了查看误差会有多大, 我们需要在

[0, 2] 上最大化 |f'' (x)| 来求 M . 为此, 回头看看上述公式中的 f (2)
2
(x) 和 f (3) (x). f (3) (x) 在 [0, 2] 上的零点在 x = 0 和 , 因