Page 1410 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

近似矩形的高度是 f (q) 且宽度为 h 个单位, 因此, 近似的面积是 hf

(q) 平方单位. 一般地, 这个近似的结果会有多糟呢？这完全取决于 f

的图像和常数直线 y = f (q) 的偏离程度. 图 B-9 就是两种最坏的情

况.

图 B-9

第一个图像显示了一条始于 (q, f (q)) 且斜率为 M 的线段, 而第二个
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图像显示了一条始于同一点且斜率为 -M 的线段. 事实上, 该函数一定
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被夹在这两个极值之间. 的确, 第一条直线的方程为 y = f (q) + M (x
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- q). 如果 f (x) 高过这条线 (对于在区间 [q, q + h] 内的 x), 那么我

们有

或 .