Page 154 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

图 3-13

从图中可以看到, 当 x 趋于 0 时, 函数仍旧有激烈的振荡, 但现在它们

被包络线抑制着. 特别是, 这里求我们想要的极限正是三明治定理的一

个完美应用. 函数 g 是下方的包络线 y = -x, 而函数 h 是上方的包络

线 y = x. 我们需要证明对于 x > 0, 有 g (x) ≤ f (x) ≤ h (x). 由于只

需要 f (x) 在 x = 0 处的右极限, 所以我们不关心 x < 0 时的情况.

(事实上, 如果扩展到 x 轴负半轴, 你可以看到, 对于 x < 0, g (x) 实际

大于 h (x), 所以三明治要翻个身!) 那么当 x > 0 时, 要怎样证明 g

(x) ≤ f (x) ≤ h(x) 呢? 我们将会用到任意数 (在我们的例子中是 1/x)

的正弦都处于 -1 和 1 之间这一事实：

现在用 x 乘以这个不等式, 由于 x > 0, 得到

而这正是我们需要的 g (x) ≤ f (x) ≤ h (x). 最后, 注意到

及 .

+
因此, 由于当 x → 0 时, 夹逼的函数 g (x) 和 h (x) 的值收敛于同一

个数 0, 所有 f (x) 也一样. 也就是说, 证明了