Page 155 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

要记住, 如果前面没有因子x, 上式显然不成立; 正如我们在3.3 节看到

+
的, 当 x → 0 时, sin (1/x) 的极限不存在.

我们还没有解决上一节结尾部分的那个极限证明问题! 回想一下,

要证明的是

为了证明此式, 需要用到三明治定理一个稍有不同的形式, 涉及在 ∞ 处

的极限. 在这种情况下, 如果对于所有的很大的 x, 都有 g (x) ≤ f (x)

≤ h (x) 成立; 又如果已知 且 . 就可以说,

. 这与有限处极限的三明治定理几乎是一样的. 为了确立上

述极限, 还要用到, 对于所有的 x, 都有 -1 ≤ sin (x) ≤ 1, 但这次, 对

于所有的 x > 0, 要用该不等式除以 x 得到

现在, 令 x → ∞, 由于 -1/x 和 1/x 的极限都是 0, sin (x) /x 的极限也

必为 0. 也就是说, 由于

和 ,

也必有