Page 149 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

因此, 一个函数的确可以有不同的右侧和左侧水平渐近线, 但最多只能

有两条水平渐近线 (一条在右侧, 另一条在左侧). 它也有可能一条都没

x
有, 或者只有一条. 例如, y = 2 有一条左侧水平渐近线, 但没有右侧

水平渐近线 (参见 1.6 节的图像). 这和垂直渐近线相反：一个函数可

以有很多条垂直渐近线 (例如, y = tan (x) 有无穷多条垂直渐近线).

另外一个常见误解是, 一个函数不可能和它的渐近线相交. 或许你曾学

到, 渐近线是一条函数越来越接近但永远不会相交的直线. 这并不正确,

至少当你讨论的是水平渐近线时. 例如, 考虑定义为 f (x) = sin (x) /x

的函数 f , 这里我们只关心当 x 是很大的正数时的函数行为. sin (x)

的值在 -1 和 1 之间振荡, 因此, sin (x) /x 的值在曲线 y = -1/x 和 y

= 1/x 之间振荡. 此外, sin (x) /x 和 sin (x) 有相同的零点, 即 π, 2π,

3π, ··· . 综合所有的信息, 其图像如图 3-11 所示.