Page 788 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

17.8 微积分第一基本定理的证明

在 17.2 节中, 我们给出了微积分第一基本定理的大致证明. 现

在, 我们要使这个定理更加严谨. 回顾这个式子：

我们要计算 F' (x). 我们已经看到

假设 h >0. 根据积分学的中值定理有 (参见 16.6.1 节), 在区间 [x, x

+ h] 上有个常数 c 使得

成立. 这样, 我们有

对于某个在区间 [x, x + h] 内的常数 c 成立. 实际上对于 h < 0, 这

个等式也是成立的, 这时的区间就变为 [x + h, x], 因为在这种情况下

x + h < x. 而等式的两端同时除以 h 有