Page 792 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

能让我们解出 , 是由于 2x 这个因子的存在, 该因子恰恰

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就是链式求导法则之后的 x 的导数. 现在考虑从下面的不定积分开

始：

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要求这个带着 x 的余弦函数的反导数, 我们有一线希望：里面的 x 3

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的导数是 3x . 这几乎和被积函数里的一个因子 x 相匹配 —— 这里
仅仅是常数 3 使得问题看起来有些难了. 但是常数可以移到积分符号

的外边去, 所以这并不是一个问题.

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让我们从设 t = x 开始, 所以 cos(x ) 变为 cos(t). 我们的目的是：
要用 t 替代表达式中的每一个 x. 你可能会说上述积分是变量 x 统治的

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领地, 但我们要把它变成 t 的领地. 我们已经把 cos(x ) 替换掉, 但还

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需要考虑替换 x 和 dx.

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事实上, dx 是很重要的. 你不能随便地把它改为 dt! 因为 t = x , 所以
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有 dt/dx = 3x . 我们可以把 dx 移到等式的右侧, 这样有 dt =

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3x dx. 先不要考虑这意味着什么, 我们将会在 18.1.3 节中讨论. 好,

现在把等式两端同时除以 3 得 . 这样, 对于原积分函数, 我

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们可以去掉 x 和 dx, 而用 去替代, 像这样：