Page 793 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

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中间的过程不是很必要, 但把 x 和 dx 放到一起可以帮助我们更清楚
地看到它们被 dt/3 所代替. 无论如何, 现在我们都可以把 1/3 移到积

分符号的外边, 然后再求积分; 所以有

如果仅仅把答案写为 , 这样未免有些懒. 我们从变量 x 开始,

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然后变为变量 t, 现在让我们再变回 x. 这样做并不难：仅仅用 x 替代

t 即可. 所以最后的答案为

我们可以通过求 的导数来校验这个结果是否正确.

让我们再来看些例子. 首先, 考虑

2x
2
因为 sec 里面的变量是讨厌的 e , 所以我们用 t 去替代它. 假设 t =
2x
2x
2x
e . 求导可得 dt/dx = 2e . 现在把 dx 移到右边可得 dt = 2e dx.
这几乎是积分符号里面的样子, 我们仅仅需要去掉因子 2. 所以两端同

时除以 2 可得 . 把刚才的积分变为以 t 为变量, 我们有