Page 56 - mathsvol1ch1to3ans

56

A B π C
tan + = tan −
2 2 2 2
A B
tan + tan
2 2 = cot C
A B 2
1 − tan tan
2 2
C A C B A B
tan tan + tan tan = 1 − tan tan
2 2 2 2 2 2
A B B C C A
tan tan + tan tan + tan tan = 1
2 2 2 2 2 2
A B C
Not For Sale - Veeraragavan C S veeraa1729@gmail.com
(vi) sin A + sin B + sin C = 4 cos cos cos
2 2 2
Solution:

B + C B − C
sin A + sin B + sin C = sin A + 2 sin cos
2 2
A A A B − C
= 2 sin cos + 2 cos cos
2 2 2 2

A A B − C
= 2 cos sin + cos
2 2 2

A B + C B − C
= 2 cos cos + cos
2 2 2

A B C
= 2 cos 2 cos cos
2 2 2
(vii) sin(B + C − A) + sin(C + A − B) + sin(A + B − C) = 4 sin A sin B sin C.

Solution:
sin(B + C − A) + sin(C + A − B) + sin(A + B − C) = sin(π − 2A) + sin(π − 2B) + sin(π − 2C)

= sin 2A + sin 2B + sin 2C

= 2 sin A cos A + 2 sin(B + C) cos(B − C)
= 2 sin A cos A + 2 sin(A) cos(B − C)

= 2 sin A (cos A + cos(B − C))

= 2 sin A (− cos(B + C) + cos(B − C))

= 2 sin A (2 sin B sin C)

= 4 sin A sin B sin C

2. If A + B + C = 2s, then prove that sin(s − A) sin(s − B) + sin s sin(s − C) = sin A sin B.

Solution:

2 sin(s − A) sin(s − B) + 2 sin s sin(s − C)

= (cos(B − A) − cos(C)) + (cos(C) − cos(A + B))
= cos(B − A) − cos(B + A)

= 2 sin B sin A