Page 57 - mathsvol1ch1to3ans

57

2x 2y 2z 2x 2y 2z
3. If x + y + z = xyz, then prove that + + = .
2
2
1 − x 2 1 − y 2 1 − z 2 1 − x 1 − y 1 − z 2
Solution: Let x = tan A, y = tan B, z = tan C.
tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C

tan A + tan B = − tan C{1 − tan A tan B}
tan A + tan B
= − tan C
1 − tan A tan B
tan (A + B) = tan (−C)
Not For Sale - Veeraragavan C S veeraa1729@gmail.com
A + B + C = π

2A + 2B + 2C = 2π
tan 2A + tan 2B + tan 2C = tan 2A tan 2B tan 2C

2 tan A 2 tan B 2 tan C 2 tan A 2 tan B 2 tan C
+ + =
2
2
2
2
2
2
1 − tan A 1 − tan B 1 − tan C 1 − tan A 1 − tan B 1 − tan C
2x 2y 2z 2x 2y 2z
+ + =
2
2
1 − x 2 1 − y 2 1 − z 2 1 − x 1 − y 1 − z 2
π
4. If A + B + C = , prove the following
2
(i) sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 cos A cos B cos C
(ii) cos 2A + cos 2B + cos 2C = 1 + 4 sin A sin B cos C.
Solution:
sin 2A + sin 2B + sin 2C = sin 2A + 2 sin(B + C) cos(B − C)
π
= 2 sin A cos A + 2 sin( − A) cos(B − C)
2
= 2 sin A cos A + 2 cos A cos(B − C)
= 2 cos A (sin A + cos(B − C))

= 2 cos A (cos(B + C) + cos(B − C))

= 2 cos A (2 cos B cos C)
= 4 cos A cos B cos C

cos 2A + cos 2B + cos 2C = cos 2A + 2 cos(B + C) cos(B − C)

2
= 1 − 2 sin A + 2 sin A cos(B − C)
= 1 − 2 sin A (sin A − cos(B − C))

= 1 − 2 sin A (cos(B + C) − cos(B − C))
= 1 + 2 sin A (2 sin B sin C)

= 1 + 4 sin A sin B sin C

π
5. If 4ABC is a right triangle and if ∠A = , then prove that
2
2
2
(i) cos B + cos C = 1