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RAÍCES DE ECUACIONES

PT2.1 MOTIVACIÓN

Desde hace años usted aprendió a usar la fórmula cuadrática:

2
– b ± b – 4 ac
x = (PT2.1)
2 a
para resolver
2
f(x) = ax + bx + c = 0 (PT2.2)
A los valores calculados con la ecuación (PT2.1) se les llama las “raíces” de la ecuación
(PT2.2), que representan los valores de x que hacen a la ecuación (PT2.2) igual a cero.
Por lo tanto, se define la raíz de una ecuación como el valor de x que hace f(x) = 0. De-
bido a esto, algunas veces a las raíces se les conoce como ceros de la ecuación.
Aunque la fórmula cuadrática es útil para resolver la ecuación (PT2.2), existen
muchas funciones donde las raíces no se pueden determinar tan fácilmente. En estos
casos, los métodos numéricos descritos en los capítulos 5, 6 y 7 proporcionan medios
eficientes para obtener la respuesta.

PT2.1.1 Métodos para la determinación de raíces
sin emplear computadoras

Antes de la llegada de las computadoras digitales se disponía de una serie de métodos
para encontrar las raíces de ecuaciones algebraicas y trascendentes. En algunos casos,
las raíces se obtenían con métodos directos, como se hace con la ecuación (PT2.1). Sin
embargo existen ecuaciones como ésta que se resuelven directamente y aparecen muchas
más en las que no es posible encontrar su solución. Por ejemplo, incluso una función tan
–x
simple como f(x) = e – x no se puede resolver en forma analítica. En tales casos, la
única alternativa es una técnica con solución aproximada.
Un método para obtener una solución aproximada consiste en graficar la función y de-
terminar dónde cruza el eje de las x. Este punto, que representa el valor de x para el cual f(x)
= 0, es la raíz. Las técnicas gráficas se exponen al principio de los capítulos 5 y 6.
Aunque los métodos gráficos son útiles en la obtención de estimaciones de las raíces,
tienen el inconveniente de que son poco precisos. Un método alternativo es el de prueba y
error. Esta “técnica” consiste en elegir un valor de x y evaluar si f(x) es cero. Si no es así
(como sucederá en la mayoría de los casos) se hace otra elección y se evalúa nuevamente f(x)
para determinar si el nuevo valor ofrece una mejor aproximación de la raíz. El proceso se
repite hasta que se obtenga un valor que proporcione una f(x) cercana a cero.
Estos métodos fortuitos, evidentemente, son ineficientes e inadecuados para las
exigencias de la ingeniería. Las técnicas descritas en la parte dos representan alternati-

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