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PT2.2 ANTECEDENTES MATEMÁTICOS 115

donde la velocidad v = la variable dependiente, el tiempo t = la variable independiente,
la constante de gravitación g = una función de fuerza y el coeficiente de arrastre c y la
masa m son los parámetros. Si se conocen los parámetros, la ecuación (PT2.3) se utiliza
para predecir la velocidad del paracaidista como una función del tiempo. Estos cálculos
se pueden llevar a cabo de manera directa, ya que v se expresa explícitamente como una
función del tiempo. Es decir, queda despejada en el lado izquierdo del signo igual.
No obstante, suponga que se tiene que determinar el coeficiente de arrastre de un
paracaidista con una masa dada, para alcanzar una velocidad determinada en un periodo
preestablecido. Aunque la ecuación (PT2.3) ofrece una representación matemática de la
interrelación entre las variables del modelo y los parámetros, no es posible obtener explí-
citamente el coeficiente de arrastre. Trate de hacerlo. No hay forma de reordenar la ecua-
ción para despejar el parámetro c. En tales casos, se dice que c está en forma implícita.
Esto representa un verdadero dilema, ya que en muchos de los problemas de diseño
en ingeniería hay que especificar las propiedades o la composición de un sistema (repre-
sentado por sus parámetros) para asegurar que esté funcionando de la manera deseada
(representado por las variables). Así, a menudo dichos problemas requieren la determi-
nación de parámetros implícitos.
La solución del dilema es proporcionada por los métodos numéricos para raíces de
ecuaciones. Para resolver el problema con métodos numéricos es conveniente reexpresar
la ecuación (PT2.3), esto se logra restando la variable dependiente v de ambos lados
de la ecuación,
fc() = gm (1 – e –( cm t/ ) – ) v (PT2.4)
c
Por lo tanto, el valor de c que hace f(c) = 0 es la raíz de la ecuación. Este valor también
representa el coeficiente de arrastre que resuelve el problema de diseño.
En la parte dos de este libro se analiza una gran variedad de métodos numéricos y
gráficos para determinar raíces de relaciones tales como en la ecuación (PT2.4). Dichas
técnicas se pueden aplicar a problemas de diseño en ingeniería con base en los principios
fundamentales dados en la tabla PT2.1, así como a muchos problemas que se encuentran
de manera rutinaria en la práctica de la ingeniería.

PT2.2 ANTECEDENTES MATEMÁTICOS

En la mayoría de las áreas mencionadas en este libro existen algunos prerrequisitos ma-
temáticos necesarios para dominar el tema. Por ejemplo, los conceptos de estimación del
error y expansión de la serie de Taylor, analizados en los capítulos 3 y 4, tienen relevancia
directa en nuestro estudio de las raíces de ecuaciones. Además, anteriormente ya se
mencionaron los términos: ecuaciones “algebraicas” y “trascendentes”. Resulta útil defi-
nir formalmente dichos términos y estudiar cómo se relacionan en esta parte del libro.
Por definición, una función dada por y = f(x) es algebraica si se expresa de la forma:

n
n–1
f y + f y + … + f y + f = 0 (PT2.5)
0
n–1
1
n
donde f es un polinomio de i-ésimo orden en x. Los polinomios son un tipo de funciones
i
algebraicas que generalmente se representan como:
2
n
f (x) = a + a x + a x + … + a x (PT2.6)
n
2
n
0
1
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