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228 EPÍLOGO: P
ESTUDIO DE CASOS: RAÍCES DE ECUACIONESARTE DOS
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Las técnicas abiertas difieren de los métodos cerrados inicialmente en que usan la
información de un solo punto (o dos valores que no necesitan acotar a la raíz para ex-
trapolar a una nueva aproximación de la misma). Esta propiedad es una espada de dos
filos. Aunque llevan a una rápida convergencia, también existe la posibilidad de que la
solución diverja. En general, la convergencia con técnicas abiertas es parcialmente de-
pendiente de la calidad del valor inicial y de la naturaleza de la función. Cuanto más
cerca esté el valor inicial de la raíz verdadera, los métodos convergerán más rápido.
De las técnicas abiertas, el método estándar de Newton-Raphson se utiliza con
frecuencia por su propiedad de convergencia cuadrática. Sin embargo, su mayor defi-
ciencia es que requiere que la derivada de la función se obtenga en forma analítica. Con
algunas funciones se vuelve impráctico. En dichos casos, el método de la secante, que
emplea una representación en diferencias finitas de la derivada, proporciona una alter-
nativa viable. Debido a la aproximación en diferencias finitas, la velocidad de conver-
gencia del método de la secante es al principio más lento que el método de
Newton-Raphson. Sin embargo, conforme se refina la estimación de la raíz, la aproxi-
mación por diferencias se vuelve una mejor representación de la derivada verdadera y,
en consecuencia, se acelera rápidamente la convergencia. Se puede usar la técnica mo-
dificada de Newton-Raphson y así obtener una rápida convergencia para raíces múltiples.
Sin embargo, dicha técnica requiere una expresión analítica tanto para la primera como
para la segunda derivada.
Todos los métodos numéricos son fáciles de programar en computadoras y requie-
ren de un tiempo mínimo para determinar una sola raíz. Sobre esta base, usted podría
concluir que los métodos simples como el de bisección resultarían suficientemente bue-
nos para fines prácticos. Lo anterior será cierto si usted se interesa exclusivamente en
determinar sólo una vez la raíz de una ecuación. Pero hay muchos casos en ingeniería
donde se requiere la localización de muchas raíces y donde la rapidez se vuelve impor-
tante. En tales casos, los métodos lentos consumen mucho tiempo y son por lo tanto
costosos. Por otro lado, la rapidez de los métodos abiertos llega a diverger, y los retardos
que los acompañan pueden también ser costosos. Algunos algoritmos de cómputo inten-
tan conjugar las ventajas de ambas técnicas, al emplear inicialmente un método cerrado
para aproximar la raíz, y después cambiar a un método abierto que mejore la estimación
con rapidez. Ya sea que se utilice un solo procedimiento o una combinación, la búsque-
da de convergencia y velocidad es fundamental para la elección de una técnica de loca-
lización de raíces.
PT2.5 RELACIONES Y FÓRMULAS IMPORTANTES
La tabla PT2.4 resume la información importante que se presentó en la parte dos. Dicha
tabla se puede consultar para un acceso rápido de relaciones y fórmulas importantes.
PT2.6 MÉTODOS AVANZADOS Y REFERENCIAS
ADICIONALES
En el presente texto los métodos se han concentrado en determinar una sola raíz real de
una ecuación algebraica o trascendente, considerando un conocimiento previo de su
localización aproximada. Además, se han descrito también métodos que se hallan ex-
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