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24 MODELOS MATEMÁTICOS Y SOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN INGENIERÍA

10 000 m, donde la velocidad inicial es de 1400 m/s hacia o bien, como el área de la superficie A es constante
arriba. Compare su resultado con la solución analítica.
dy Q 2 Q
= 3 sen t –
1.12 La cantidad de un contaminante radiactivo distribuido dx A A
uniformemente que se encuentra contenido en un reactor cerrado, Emplee el método de Euler para resolver cuál sería la profundi-
se mide por su concentración c (becquerel/litro, o Bq/L). El con- dad y, desde t = 0 hasta 10 d, con un tamaño de paso de 0.5 d.
taminante disminuye con una tasa de decaimiento proporcional Los valores de los parámetros son A = 1200 m y Q = 500 m /d.
3
2
a su concentración, es decir: Suponga que la condición inicial es y = 0.
tasa de decaimiento = –kc 1.14 Para el mismo tanque de almacenamiento que se describe
en el problema 1.13, suponga que el flujo de salida no es cons-
–1
donde k es una constante con unidades de día . Entonces, de tante sino que la tasa depende de la profundidad. Para este caso,
acuerdo con la ecuación (1.13), puede escribirse un balance la ecuación diferencial para la profundidad puede escribirse
de masa para el reactor, así: como
dc dy Q α 1 ( + y) 15.
= – kc = 3 sen 2 t –
dt dx A A
( cambio ) ( por deecaimiento) Use el método de Euler para resolver cuál sería la profundidad
disminución
=

de la masa
y, desde t = 0 hasta 10 d, con un tamaño de paso de 0.5 d.
3
2
a) Use el método de Euler para resolver esta ecuación desde Los valores de los parámetros son A = 1200 m , Q = 500 m /d,
–1
t = 0 hasta 1 d, con k = 0.2 d . Emplee un tamaño de paso y a = 300. Suponga que la condición inicial es y = 0.
de ∆t = 0.1. La concentración en t = 0 es de 10 Bq/L. 1.15 Suponga que una gota esférica de líquido se evapora a una
b) Grafique la solución en papel semilogarítmico (p.ej., ln c ver- tasa proporcional al área de su superficie.
sus t) y determine la pendiente. Interprete sus resultados.
dV
=− kA
1.13 Un tanque de almacenamiento contiene un líquido con dt
profundidad y, donde y = 0 cuando el tanque está lleno a la mitad. donde V = volumen (mm ), t = tiempo (h), k = la tasa de evapo-
3
El líquido se extrae con una tasa de flujo constante Q a fin de ración (mm/h), y A = área superficial (mm ). Emplee el método
2
satisfacer las demandas. Se suministra el contenido a una tasa de Euler para calcular el volumen de la gota desde t = 0 hasta 10
2
senoidal de 3Q sen (t). min usando un tamaño de paso de 0.25 min. Suponga que k = 0.1
mm/min, y que al inicio la gota tiene un radio de 3 mm. Evalúe
la validez de sus resultados por medio de determinar el radio de
y
su volumen final calculado y la verificación de que es consisten-
te con la tasa de evaporación.
1.16 La ley de Newton del enfriamiento establece que la tempe-
ratura de un cuerpo cambia con una tasa que es proporcional a
0 la diferencia de su temperatura y la del medio que lo rodea (tem-
peratura ambiente).
dT
=− kT −( T )
dt a
Figura P1.13 donde T = temperatura del cuerpo (°C), t = tiempo (min), k =
constante de proporcionalidad (por minuto), y T a = temperatu-
ra del ambiente (°C). Suponga que una tasa de café tiene origi-
nalmente una temperatura de 68°C. Emplee el método de Euler
Para este sistema, la ecuación (1.13) puede escribirse como para calcular la temperatura desde t = 0 hasta 10 min, usando
un tamaño de paso de 1 min, si T a = 21°C y k = 0.017/min.
dAy) 2 1.17 Las células cancerosas crecen en forma exponencial con
(
Q
= 3 sen t Q–
dx un tiempo de duplicación de 20 h cuando tienen una fuente ili-
( cambio en ) = = (flujo de entrada) – (flujo de salida) mitada de nutrientes. Sin embargo, conforme las células comien-
el volumen
zan a formar un tumor de forma esférica sin abasto de sangre, el

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