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470 REGRESIÓN POR MÍNIMOS CUADRADOS

Ahora, si observamos que ∑a = na , expresamos las ecuaciones como un conjunto de
0
0
dos ecuaciones lineales simultáneas, con dos incógnitas (a y a ):
0
1
i)
0 (∑
1 ∑
na + x a = y (17.4)
i
∑ ( xa + ∑ x i ) a = x y (17.5)
i) (
i ∑
2
i i
0
Éstas se llaman ecuaciones normales, y se resuelven en forma simultánea
n∑ x y − ∑ x ∑ y
a = ii 2 i 2 i (17.6)
n∑
1
x − ∑(
i x )
i
Este resultado se utiliza conjuntamente con la ecuación (17.4) para obtener
– –
a = y – a x (17.7)
0
1
– –
donde y y x son las medias de y y x, respectivamente.
EJEMPLO 17.1 Regresión lineal
Planteamiento del problema. Ajuste a una línea recta los valores x y y en las dos
primeras columnas de la tabla 17.1.
Solución. Se calculan las siguientes cantidades:
∑ ∑ 2
n = 7 x y = 119 5. x = 140
ii
i
∑ x = 28 x = 28 = 4
i
7
∑ y = 24 y = 24 = 3 428571.
i
7
Mediante las ecuaciones (17.6) y (17.7)
7 119 5 −( . ) 28 24( )
a = = 0 8392857.
1
7 140 −( ) ( 28) 2
a = 3.428571 – 0.8392857(4) = 0.07142857
0
TABLA 17.1 Cálculos para el análisis de error en el ajuste lineal.

– 2
(y i – y) (y i – a 0 – a 1 x i ) 2
x i y i
1 0.5 8.5765 0.1687
2 2.5 0.8622 0.5625
3 2.0 2.0408 0.3473
4 4.0 0.3265 0.3265
5 3.5 0.0051 0.5896
6 6.0 6.6122 0.7972
7 5.5 4.2908 0.1993

∑ 24.0 22.7143 2.9911

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