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17.1 REGRESIÓN LINEAL 471

Por lo tanto, el ajuste por mínimos cuadrados es
y = 0.07142857 + 0.8392857x

La línea, junto con los datos, se muestran en la figura 17.1c.

17.1.3 Cuantifi cación del error en la regresión lineal

Cualquier otra línea diferente a la calculada en el ejemplo 17.1 dará como resultado una
suma mayor de los cuadrados de los residuos. Así, la línea es única y, en términos de
nuestro criterio elegido, es la “mejor” línea a través de los puntos. Varias propiedades
de este ajuste se observan al examinar más de cerca la forma en que se calcularon los
residuos. Recuerde que la suma de los cuadrados se define como [ecuación (17.3)]
i ∑
r ∑
S = n e = n ( y − a − a x ) (17.8)
2
2
1
i
i
0
i=1 i=1
Observe la similitud entre las ecuaciones (PT5.3) y (17.8). En el primer caso, el
cuadrado del residuo representa el cuadrado de la discrepancia entre el dato y una esti-
mación de la medida de tendencia central: la media. En la ecuación (17.8), el cuadrado
del residuo representa el cuadrado de la distancia vertical entre el dato y otra medida de
tendencia central: la línea recta (figura 17.3).
La analogía se puede extender aún más en casos donde 1. la dispersión de los puntos
alrededor de la línea es de magnitud similar en todo el rango de los datos, y 2. la distri-
bución de estos puntos cerca de la línea es normal. Es posible demostrar que si estos
criterios se cumplen, la regresión por mínimos cuadrados proporcionará la mejor (es
decir, la más adecuada) estimación de a y a (Draper y Smith, 1981). Esto se conoce en
1
0

FIGURA 17.3
El residuo en la regresión lineal representa la distancia vertical entre un dato y la línea recta.

y
Medición
y i
Línea de regresión
y – a – a x
i
1 i
0
a + a x
0
1 i

x x
i

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