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550 APROXIMACIÓN DE FOURIER

Además de la forma trigonométrica de la ecuación (19.17), la serie de Fourier se
expresa también en términos de funciones exponenciales como sigue (véase el cuadro
19.2 y el apéndice A)
∞
ft() = ∑ ˜ c e ikω 0 t (19.21)
k
k=−∞

donde i = –1 y

Cuadro 19.2 Forma compleja de las series de Fourier

La forma trigonométrica de la serie de Fourier continua es o

∞
∞
∞
ft( ) = a + ∑ a [ cos( kω t) + sen k ( ω t)] (C19.2.1) ft() = ∑ c e ikω 0 t + ∑ c e – ikω 0 t
˜
˜
b
0 k 0 k 0 k − k
k=1 k=0 k=1
A partir de la identidad de Euler, el seno y el coseno se expresan
Para simplificar aún más, en lugar de sumar la segunda serie
en forma exponencial como
desde 1 hasta ∞, se realiza la suma de –1 a ∞,
e − e − ix
ix
sen x = (C19.2.2) ∞ ikω −∞ ikω

i 2 f t() = ∑ ce 0 t + ∑ ce 0 t
k
k
k=0 k=−1
e + e − ix
ix
cosx = (C19.2.3)
2 o
las cuales se sustituyen en la ecuación (C19.2.1) para dar ∞
ft() = ∑ c e ikω 0 t (C19.2.6)
˜
∞
ft() = a + ∑ ⎛ ⎝ e ikω t 0 a − ib k + e − ikω t 0 a + ib ⎞ ⎠ k=−∞ k
k
k
k
0
k=1 2 2
donde la sumatoria incluye un término para k = 0.
(C19.2.4)
Para evaluar las c k , las ecuaciones (19.18) y (19.19) se susti-
ya que 1/i = –i. Podemos definir un conjunto de constantes tuyen en la ecuación (B19.2.5) para obtener
˜ c = a ˜ c = 1 ∫ / T 2 ( ) cos(kω ) t dt i− 1 ∫ / T 2 (kω
( )
0 0 f t ft sen ) t dt
k 0 0
a − ib T − / T 2 T − / T 2
˜ c = k k
k
2
a − ib a + ib Mediante las ecuaciones (C19.2.2) y (C19.2.3) y simplificando
˜ c = − k − k = k k
− k se obtiene
2 2 (C19.2.5)
()e
donde, debido a las propiedades de simetría del coseno y del ˜ c = T 1 ∫ − / T 2 ft − ikω t 0 dt (C19.2.7)
k
seno, a k = a –k y b k = –b –k . La ecuación (C19.2.4) puede, por lo / T 2
tanto, reexpresarse como Por lo tanto, las ecuaciones (C19.2.6) y (C19.2.7) son las versio-
∞
∞
ft() = ∑ c e ikω 0 t + ∑ c e – ikω 0 t nes complejas de las ecuaciones (19.17) a (19.20). Observe que
˜
el apéndice A incluye un resumen de las interrelaciones entre
˜
−
k
k
k=0 k=1 todas las formas de la serie de Fourier que se presentan.
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