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744 MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA

⎞
y i+1 = y + ⎛ 1 k + 2 k h (25.38)
i
2
1
⎝ 3 3 ⎠
donde
k = ƒ(x , y ) (25.38a)
1
i
i
⎛
k = f x + 3 h y + 3 k h ⎞ ⎠ (25.38b)
,
⎝
i
i
1
2
4
4
EJEMPLO 25.6 Comparación de varios esquemas RK de segundo orden
Planteamiento del problema. Utilice los métodos de punto medio [ecuación (25.37)]
y el de Ralston [ecuación (25.38)] para integrar numéricamente la ecuación (PT7.13):
3
2
ƒ(x, y) = –2x + 12x – 20x + 8.5
desde x = 0 hasta x = 4, usando un tamaño de paso de 0.5. La condición inicial es x = 0,
y = 1. Compare los resultados con los valores obtenidos usando otro algoritmo RK de
segundo orden: el método de Heun sin iteración del corrector (tabla 25.3).
Solución. El primer paso en el método de punto medio consiste en usar la ecuación
(25.37a) para calcular:

3
2
k = –2(0) + 12(0) – 20(0) + 8.5 = 8.5
1
Sin embargo, como la EDO está en función sólo de x, este resultado carece de relevancia
sobre el segundo paso [el uso de la ecuación (25.37b)] para calcular:
2
3
k = –2(0.25) + 12(0.25) – 20(0.25) + 8.5 = 4.21875
2
TABLA 25.3 Comparación de los valores verdadero y aproximado de la integral de
2
3
y’ = –2x + 12x – 20x + 8.5, con la condición inicial de que y = 1 en
x = 0. Los valores aproximados se calcularon por medio de tres versiones
de los métodos RK de segundo orden, con un tamaño de paso de 0.5.
RK Ralston
Heun Punto medio de segundo orden
x y verdadero y |e t |(%) y |e t |(%) y |e t |(%)
0.0 1.00000 1.00000 0 1.00000 0 1.00000 0
0.5 3.21875 3.43750 6.8 3.109375 3.4 3.277344 1.8
1.0 3.00000 3.37500 12.5 2.81250 6.3 3.101563 3.4
1.5 2.21875 2.68750 21.1 1.984375 10.6 2.347656 5.8
2.0 2.00000 2.50000 25.0 1.75 12.5 2.140625 7.0
2.5 2.71875 3.18750 17.2 2.484375 8.6 2.855469 5.0
3.0 4.00000 4.37500 9.4 3.81250 4.7 4.117188 2.9
3.5 4.71875 4.93750 4.6 4.609375 2.3 4.800781 1.7
4.0 3.00000 3.00000 0 3 0 3.031250 1.0

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