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25.3 MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA 747

y
k
2

k
k 3
1
k 1 k 2

k
3
k 4

h
x i x i+1/2 x i+1 x

FIGURA 25.15
Representación gráfi ca de las pendientes estimadas empleadas en el método RK de cuarto
orden.

Observe que con las EDO que están en función sólo de x, el método RK clásico de
cuarto orden es similar a la regla de Simpson 1/3. Además, el método RK de cuarto
orden tiene similitud con el procedimiento de Heun en cuanto a que se usan múltiples
estimaciones de la pendiente para obtener una mejor pendiente promedio en el interva-
lo. Como se muestra en la figura 25.15, cada una de las k representa una pendiente. La
ecuación (25.40) entonces representa un promedio ponderado de éstas para establecer
la mejor pendiente.

EJEMPLO 25.7 Método clásico RK de cuarto orden

Planteamiento del problema.
a) Con el método clásico RK de cuarto orden [ecuación (25.40)] integre

3
2
ƒ(x, y) = –2x + 12x – 20x + 8.5
usando un tamaño de paso h = 0.5 y la condición inicial y = 1 en x = 0;
b) De manera similar integre
ƒ(x, y) = 4e 0.8x – 0.5y

utilizando h = 0.5 con y(0) = 2 desde x = 0 hasta 0.5.

Solución.
a) Se emplean las ecuaciones (25.40a) a (25.40d) para calcular k = 8.5, k = 4.21875,
2
1
k = 4.21875 y k = 1.25; las cuales se sustituyen en la ecuación (25.40) para dar
3
4
⎧ 1 ⎫
⎬
y(. )05 = + ⎨ [ .8 5 2+ ( .4 21875 ) 2+ ( .4 21875 ) 1+ . ]25 0 .5
1
⎩ 6 ⎭
= . 3 21875

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