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742 MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA

Cuadro 25.1 Deducción de los métodos de Runge-Kutta de segundo orden

La versión de segundo orden de la ecuación (25.28) es: Si se aplica este método para expandir la ecuación (B25.1.3) se
llega a:
y i+1 = y i + (a 1 k 1 + a 2 k 2 )h (B25.1.1) f ∂
fx( + p h y, + q k h) = fx y( , ) + p h
donde i 1 i 11 1 i i 1 x ∂
f ∂
+ + 2
k 1 = ƒ(x i , y i ) (B25.1.2) qk h y ∂ Oh()
11 1

y
Este resultado se sustituye junto con la ecuación (B25.1.2) en
la ecuación (B25.1.1) para obtener:
k 2 = ƒ(x i + p 1 h, y i + q 11 k 1 h) (B25.1.3)
f ∂
Para usar la ecuación (B25.1.1) debemos determinar los va- y i+1 = y + a hf x y +(, ) a hf x y +(, ) a p h 2 x ∂
2
i
1
i
i
i
2
1
i
lores de las constantes a 1 , a 2 , p 1 y q 11 . Para ello, recordamos que f ∂
3
2
la serie de Taylor de segundo orden para y i+1 , en términos de y i + aq h f x y(, ) y ∂ + Oh( )
i
211
i
y ƒ(x i , y i ), se escribe como [ecuación (25.11)]:
′(,
f x y h +
2
i
y = y + (, ) fx y ) h (B25.1.4) o, agrupando términos,
i
i+1 i i i
2! y = y +[ a f xy +( , ) a f xy h( , )]
i+1 i 1 i i 2 i i
donde ƒ(x i , y i ) debe determinarse por derivación usando la regla + ⎡ f ∂ + f ∂ ⎤ h + 3
2
ap
de la cadena (sección 25.1.3): ⎢ 2 1 x ∂ aq f x y(, ) y ∂ ⎥ ⎦ O h( )
i
i
2 11
⎣
(B25.1.7)
(,
(, )
′ fx y ) = ∂fx y) + ∂fx y dy (B25.1.5)
(,
i
i
∂x ∂y dx Ahora, si comparamos términos comunes en las ecuaciones
(B25.1.6) y (B25.1.7), determinamos que para que las dos ecua-
Si sustituimos la ecuación (B25.1.5) en la ecuación (B25.1.4) se ciones sean equivalentes, se debe satisfacer lo siguiente:
obtiene:
a + a = 1
⎛ f ∂ ∂ f dy h 2 1 2
⎞
f x y h +
y = y + (, ) ⎜ + ⎟ (B25.1.6) 1
i+1 i i i ⎝ x ∂ ∂ y dx⎠ 2! ap =
2
1
2
La estrategia básica de los métodos de Runge-Kutta es el uso de aq = 1
manipulaciones algebraicas para obtener los valores de a 1 , a 2 , p 1 211 2
y q 11 , que hacen equivalentes a las ecuaciones (B25.1.1) y
Las tres ecuaciones simultáneas anteriores contienen las cuatro
(B25.1.6).
constantes desconocidas. Como hay una incógnita más que el
Para ello, primero usamos una serie de Taylor para expandir
número de ecuaciones, no existe un conjunto único de constantes
la ecuación (B25.1.3). La serie de Taylor para una función de dos
que satisfaga las ecuaciones. Sin embargo, considerando un
variables se define como [recuerde la ecuación (4.26)]:
valor para una de las constantes, es posible determinar el valor
g ∂ g ∂ de las otras tres. En consecuencia, existe una familia de méto-
(
gx ry s)+ , + = g xy , ) + r + s +
(
x ∂ y ∂ dos de segundo orden y no una sola versión.
orden. Al hacerlo, desarrollamos tres ecuaciones para evaluar las cuatro constantes
desconocidas. Las tres ecuaciones son:
a + a = 1 (25.31)
1
2
ap = 1 (25.32)
21
2
aq = 1 (25.33)
211
2
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