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25.3 MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA 741

donde f(x , y , h) se conoce como función incremento, la cual puede interpretarse como
i
i
una pendiente representativa en el intervalo. La función incremento se escribe en forma
general como
f = a k + a k + · · · + a k (25.29)
1 1
2 2
n n
donde las a son constantes y las k son
k = ƒ(x , y ) (25.29a)
1
i
i
k = ƒ(x + p h, y + q k h) (25.29b)
i
11 1
2
i
1
k = ƒ(x + p h, y + q k h + q k h) (25.29c)
21 1
2
i
i
3
22 2
·
·
·
k h + q
k = ƒ(x + p h, y + q n–1,1 1 n–1,2 2 n–1,n–1 n–1 (25.29d)
k h +···+ q
k h)
i
n
i
n–1
donde las p y las q son constantes. Observe que las k son relaciones de recurrencia. Es
decir, k aparece en la ecuación k , la cual aparece en la ecuación k , etcétera. Como
3
2
1
cada k es una evaluación funcional, esta recurrencia vuelve eficientes a los métodos RK
para cálculos en computadora.
Es posible tener varios tipos de métodos de Runge-Kutta empleando diferentes
números de términos en la función incremento especificada por n. Observe que el mé-
todo de Runge-Kutta (RK) de primer orden con n = 1 es, de hecho, el método de Euler.
Una vez que se elige n, se evalúan las a, p y q igualando la ecuación (25.28) a los térmi-
nos en la expansión de la serie de Taylor (cuadro 25.1). Así, al menos para las versiones
de orden inferior, el número de términos, n, por lo común representa el orden de la
aproximación. Por ejemplo, en la siguiente sección, los métodos RK de segundo orden
usan la función incremento con dos términos (n = 2). Esos métodos de segundo orden se-
rán exactos si la solución de la ecuación diferencial es cuadrática. Además, como los
3
términos con h y mayores se eliminan durante la deducción, el error de truncamiento
3
2
local es O(h ) y el global es O(h ). En secciones subsecuentes desarrollaremos los mé-
todos RK de tercer y cuarto órdenes (n = 3 y 4, respectivamente). En tales casos, los
3
4
errores de truncamiento global son O(h ) y O(h ).
25.3.1 Métodos de Runge-Kutta de segundo orden
La versión de segundo orden de la ecuación (25.28) es
y = y + (a k + a k )h (25.30)
2 2
1 1
i+1
i
donde:
= ƒ(x , y ) (25.30a)
k 1 i i
k = ƒ(x + p h, y + q k h) (25.30b)
i
i
1
2
11 1
Como se describe en el cuadro 25.1, los valores de a , a , p y q se evalúan al igualar
11
1
2
1
la ecuación (25.30) con la expansión de la serie de Taylor hasta el término de segundo
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