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740 MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA

a) Heun simple sin corrector c) Heun con corrector
SUB Heun (x, y, h, ynew) SUB HeunIter (x, y, h, ynew)
CALL Derivs (x, y, dy1dx) es = 0.01
ye = y + dy1dx · h maxit = 20
CALL Derivs(x + h, ye, dy2dx) CALL Derivs(x, y, dy1dx)
Slope = (dy1dx + dy2dx)/2 ye = y + dy1dx · h
ynew = y + Slope · h iter = 0
x = x + h DO
END SUB yeold = ye
CALL Derivs(x + h, ye, dy2dx)
b) Método del punto medio
slope = (dy1dx + dy2dx)/2
SUB Midpoint (x, y, h, ynew) ye = y + slope · h
CALL Derivs(x, y, dydx) iter = iter + 1
−
ym = y + dydx · h/2 ea = ye yeold 100%
CALL Derivs (x + h/2, ym, dymdx) ye
FIGURA 25.13
Seudocódigo para ynew = y + dymdx · h IF (ea ≤ es OR iter > maxit) EXIT
implementar los métodos x = x + h END DO
de a) Heun simple, END SUB ynew = ye
b) punto medio y c) Heun x = x + h
iterativo. END SUB

Este algoritmo se combina con la figura 25.7 con el objetivo de desarrollar el software
para el método iterativo de Heun.

25.2.4 Resumen
Al mejorar el método de Euler desarrollamos dos nuevas técnicas de segundo orden.
Aun cuando esas versiones requieren más cálculos para determinar la pendiente, la re-
ducción que se obtiene del error nos permitirá concluir, en una sección próxima (sección
25.3.4), que usualmente una mejor exactitud vale el esfuerzo. Aunque existen ciertos
casos donde técnicas fácilmente programables, como el método de Euler, pueden apli-
carse con ventaja, los métodos de Heun y del punto medio por lo común son superiores
y se deberán implementar si son consistentes con los objetivos del problema.
Como se hace notar al inicio de esta sección, los métodos de Heun (sin iteraciones),
del punto medio y, de hecho, la técnica de Euler misma son versiones de una clase más
amplia de procedimientos de un paso denominada métodos de Runge-Kutta. Ahora
veremos el desarrollo formal de esas técnicas.

25.3 MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA

Los métodos de Runge-Kutta (RK) logran la exactitud del procedimiento de la serie de
Taylor sin necesitar el cálculo de derivadas de orden superior. Existen muchas variantes,
pero todas tienen la forma generalizada de la ecuación (25.1):
y = y + f(x , y , h)h (25.28)
i
i
i+1
i

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