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25.3 MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA 743

Como tenemos tres ecuaciones con cuatro incógnitas, debemos dar el valor de una de
estas incógnitas para determinar las otras tres. Suponga que damos un valor para a . En-
2
tonces se resuelven de manera simultánea las ecuaciones (25.31) a (25.33) obteniendo:
a = 1 – a 2 (25.34)
1
p = q = 1 (25.35)
1
11
2 a
2
Debido a que podemos elegir un número infinito de valores para a , hay un número
2
infinito de métodos RK de segundo orden. Cada versión daría exactamente los mismos
resultados si la solución de la EDO fuera cuadrática, lineal o una constante. Sin embar-
go, se obtienen diferentes resultados cuando (como típicamente es el caso) la solución
es más complicada. A continuación presentamos tres de las versiones más comúnmente
usadas y preferidas:

Método de Heun con un solo corrector (a = 1/2). Si suponemos que a es 1/2 de
2
2
las ecuaciones (25.34) y (25.35) puede obtenerse a = 1/2 y p = q = 1. Estos parámetros,
1
1
11
al sustituirse en la ecuación (25.30), dan:
⎞
y = y + ⎛ 1 k + 1 k h (25.36)
i+1 i 1 2 ⎠
⎝ 2 2
donde
k = ƒ(x , y ) (25.36a)
i
i
1
k = ƒ(x + h, y + k h) (25.36b)
i
2
i
1
Observe que k es la pendiente al inicio del intervalo y que k es la pendiente al final del
1
2
intervalo. En consecuencia, este método de Runge-Kutta de segundo orden es, de hecho,
la técnica de Heun sin iteración.
El método del punto medio (a = 1). Si suponemos que a es 1, entonces a = 0, p
2
1
1
2
= 1/2, y la ecuación (25.30) se convierte en:
= q 11
y = y + k h (25.37)
2
i
i+1
donde
k = ƒ(x , y ) (25.37a)
1
i
i
⎛
k = f x + 1 h y +, 1 k h ⎞ (25.37b)
2 ⎝ i 2 i 2 1 ⎠
Éste es el método del punto medio.
Método de Ralston (a 2 = 2/3). Ralston (1962) y Ralston y Rabinowitz (1978) deter-
minaron que al seleccionar a 2 = 2/3 se obtiene un mínimo en el error de truncamiento para
los algoritmos RK de segundo orden. Con esta versión, a 1 = 1/3 y p 1 = q 11 = 3/4 y da:

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