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752 MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA

EJEMPLO 25.9 Solución de sistemas de EDO usando el método de Euler

Planteamiento del problema. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones diferen-
ciales utilizando el método de Euler, suponiendo que en x = 0, y = 4 y y = 6. Integre
2
1
hasta x = 2 con un tamaño de paso igual a 0.5.
dy dy
1 =− 05. y 2 = 4 03− . y − 01. y
dx 1 dx 2 1

Solución. Se implementa el método de Euler para cada variable como en la ecuación
(25.2):
y (0.5) = 4 + [–0.5(4)]0.5 = 3
1
y (0.5) = 6 + [4 – 0.3(6) – 0.1(4)]0.5 = 6.9
2
Observe que y (0) = 4 se emplea en la segunda ecuación en lugar de y (0.5) = 3 calcu-
1
1
lada con la primera ecuación. Procediendo de manera similar se tiene:
x y 1 y 2
0 4 6
0.5 3 6.9
1.0 2.25 7.715
1.5 1.6875 8.44525
2.0 1.265625 9.094087

25.4.2 Métodos de Runge-Kutta
Observe que cualquiera de los métodos RK de orden superior expuestos en este capítulo
se pueden aplicar a los sistemas de ecuaciones. Sin embargo, debe tenerse cuidado al
determinar las pendientes. La figura 25.15 es útil para visualizar la forma adecuada de
hacer esto con el método de cuarto orden. Es decir, desarrollamos primero las pendientes
para todas las variables en el valor inicial. Esas pendientes (un conjunto de las k ) se
1
utilizarán después para realizar predicciones de la variable dependiente en el punto medio
del intervalo. Tales valores del punto medio se utilizan, a su vez, para calcular un con-
junto de pendientes en el punto medio (las k ). Esas nuevas pendientes se vuelven a usar
2
en el punto de inicio para efectuar otro conjunto de predicciones del punto medio que
). Éstas después se
lleven a nuevas predicciones de la pendiente en el punto medio (las k 3
emplearán para realizar predicciones al final del intervalo que se usarán para desarrollar
pendientes al final del intervalo (las k ). Por último, las k se combinan en un conjunto de
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funciones incrementadas [como en la ecuación (25.40)] y se llevan de nuevo al inicio para
hacer la predicción final. El siguiente ejemplo ilustra el procedimiento.

EJEMPLO 25.10 Solución de sistemas de EDO usando el método RK de cuarto orden

Planteamiento del problema. Con el método RK de cuarto orden resuelva las EDO
del ejemplo 25.9.

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