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EPÍLOGO: PARTE OCHO

PT.8.3 ALTERNATIVAS

Las principales ventajas y desventajas asociadas a los métodos numéricos para la solución
de ecuaciones diferenciales parciales implican seleccionar entre procedimientos por
diferencias finitas y por elemento finito. Los métodos por diferencias finitas son con-
ceptualmente más fáciles de comprender. Además, son de fácil programación en sistemas
que pueden ser aproximados con mallas uniformes. Sin embargo, son difíciles de aplicar
a sistemas con geometrías complicadas.
Los procedimientos por diferencias finitas se dividen en categorías, dependiendo
del tipo de EDP que se vaya a resolver. Las EDP elípticas pueden aproximarse por me-
dio de un conjunto de ecuaciones algebraicas lineales. En consecuencia, el método de
Liebmann (que, de hecho, es el método de Gauss-Seidel) se utiliza para obtener una
solución de manera iterativa.
Las EDP parabólicas en una dimensión se resuelven de dos maneras fundamental-
mente diferentes: con métodos explícitos o con métodos implícitos. El método explícito
se desarrolla en el tiempo de una forma similar a la técnica de Euler para resolver las
EDO. Tiene la ventaja de que se programa fácilmente, aunque presenta el inconvenien-
te de tener un criterio de estabilidad muy estricto. En cambio, existen métodos implíci-
tos que, por lo general, implican la solución de ecuaciones algebraicas tridiagonales de
manera simultánea en cada iteración. Uno de esos procedimientos, el método de Crank-
Nicholson, es exacto y estable, y, por lo tanto, es muy utilizado en problemas parabólicos
lineales en una dimensión.
Las EDP parabólicas en dos dimensiones también se modelan de manera explícita.
Aunque, sus restricciones de estabilidad son aún más estrictas que en el caso de una
dimensión. Se han desarrollado procedimientos implícitos especiales (generalmente
conocidos como métodos de separación) para evitar dicho inconveniente. Estos proce-
dimientos son eficientes y estables. Uno de los más comunes es el método implícito de
dirección alternante o IDA.
Todos los procedimientos por diferencias finitas anteriores se vuelven complicados
cuando se aplican a sistemas con formas no uniformes y condiciones heterogéneas.
Existen métodos por elemento finito que funcionan mejor para tales sistemas.
Aunque el método del elemento finito se basa en ideas muy sencillas, el mecanismo
para generar un buen código del elemento finito para problemas en dos y tres dimensio-
nes no es un ejercicio trivial. Además, llega a ser costoso en términos computacionales
para problemas grandes. Sin embargo, es muy superior a los procedimientos por dife-
rencias finitas para sistemas con formas complicadas. En consecuencia, a menudo se
justifica su costo debido a su concepto “superior” en el detalle de la solución final.

PT8.4 RELACIONES Y FÓRMULAS IMPORTANTES

En la tabla PT8.3 se resume la información importante que fue presentada en la parte
ocho respecto de los métodos por diferencias finitas. Esta tabla es útil para lograr un
rápido acceso a relaciones y fórmulas importantes.

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