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32.4 SOLUCIÓN POR ELEMENTO FINITO DE UNA SERIE DE RESORTES 945

Antes de continuar con el siguiente paso (el ensamble de la solución total), presen-
taremos alguna notación. A los elementos de [k] y {F} se les colocan, de manera con-
vencional, superíndices y subíndices:
⎡ k ()e –k ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ F ⎫
()e
()e
x
1
()e ⎥ ⎨ ⎬ = ⎨
⎢ 11 ()e 12 1 ()e ⎬
x
⎣ –k 21 k 22 ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ F 2 ⎭
2
donde el superíndice (e) indica que éstas son las ecuaciones del elemento. A las k también
se les han puesto subíndices como k para denotar su localización en i-ésimo renglón y
ij
la j-ésima columna de la matriz. En este caso, también se interpretan físicamente como
representación de la fuerza requerida en el nodo i para inducir un desplazamiento uni-
tario en el nodo j.
Ensamble. Antes de ensamblar las ecuaciones de los elementos, deben numerarse
todos los elementos y nodos. Este esquema de numeración global especifica una confi-
guración o topología del sistema. (Observe que en este caso se utiliza un esquema
idéntico al de la tabla 31.1.) Es decir, nos dice qué nodos pertenecen a qué elemento. Una
vez que se especifica la topología, se pueden dar las ecuaciones de cada elemento con
referencia a las coordenadas globales.
Las ecuaciones del elemento se agregan, una por una, para ensamblar todo el siste-
ma. El resultado final se expresa en forma matricial como [recuerde la ecuación
(31.10)]

[k]{x′} = {F′}
donde

⎡ k 1 () − k 1 () ⎤
⎢ 11 1 () 1 () 12 2 ( ) 2 ( ) ⎥
⎢ − k 21 k 22 + k 11 – k 12 ⎥
k [] = ⎢ − k 2 () k 2 () + k 3 ( ) – k 3 ( ) ⎥ (32.19)
⎢ 21 22 11 12 ⎥
⎢ − k 21 3 () k 22 3 () + k 11 4 ( ) – k 12 4 ( ) ⎥
⎢ 4 () 4 () ⎥
⎣ – k 21 k 22 ⎦

y

⎧F 1 () ⎫
⎪ 1 ⎪
⎪ 0 ⎪
⎪
⎪
F ′ [ ] = ⎨ 0 ⎬
⎪ ⎪
⎪ 0 ⎪
⎭
⎪F 4 () ⎪
⎩ 2
y {x′} y {F′} son los desplazamientos expandidos y vectores de fuerza, respectivamen-
te. Observe que, conforme las ecuaciones fueron ensambladas, las fuerzas internas se
cancelan. Así, en el resultado final {F′} tiene cero en todos los nodos, excepto en el
primero y en el último.

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