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944 ESTUDIO DE CASOS: ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

Solución.

Discretización. La forma de dividir este sistema es, obviamente, tratar cada resorte
como un elemento. Así, el sistema consiste de cuatro elementos y cinco nodos (figura
32.7b).
Ecuaciones de los elementos. Como este sistema es muy simple, las ecuaciones de
sus elementos se pueden dar directamente, sin recurrir a aproximaciones matemáticas.
Éste es un ejemplo del procedimiento directo para deducir elementos.
En la figura 32.8 se muestra un solo elemento. La relación entre la fuerza F y el
desplazamiento x se representa matemáticamente por la ley de Hooke:
F = kx

donde k = la constante del resorte, que se interpreta como la fuerza requerida para cau-
sar un desplazamiento unitario. Si una fuerza F se aplica al nodo 1, el siguiente balan-
1
ce de fuerzas debe satisfacerse:
F = k(x – x )
1 2
donde x = desplazamiento del nodo 1 desde su posición de equilibrio y x = desplaza-
1 2
miento del nodo 2 desde su posición de equilibrio. Así, x – x representa cuánto se ha
2 1
alargado o comprimido en relación con el equilibrio (figura 32.8).
Esta ecuación también se puede escribir como
F = kx – kx
1 1 2
Para un sistema en estado estacionario, un balance de fuerzas también necesita que F
1
= –F y, por lo tanto,
2
F = –kx + kx
2 1 2
Estas dos ecuaciones simultáneas especifican el comportamiento del elemento en res-
puesta a las fuerzas dadas. Se escriben en forma matricial como
F ⎫
⎡ k –k ⎤⎧ ⎫ ⎧ 1
x
1
⎢ ⎥ ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬
⎣ –k k ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭
F
x
2
2
o
[k]{x} = {F} (32.18)
donde la matriz [k] es la matriz de las propiedades del elemento; en este caso, también
se conoce como matriz de rigidez del elemento. Observe que la ecuación (32.18) se
presenta en el formato de la ecuación (31.9). Así, se logró generar una ecuación matricial
que describe el comportamiento de un elemento típico en nuestro sistema.
FIGURA 32.8 F 1 F 2
Diagrama de cuerpo libre Nodo 1 Nodo 2
de un sistema de resorte.

x
0 x 1 x 2

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