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948 ESTUDIO DE CASOS: ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

tud. La parte a tiene conductividad térmica k , para 0 ≤ x ≤ ½, y
a
V = 40 la parte b tiene conductividad térmica k , para ½ ≤ x ≤ 1. Las
b
V = 20 ecuaciones de conducción de calor transitivas no dimensionales
que describen la temperatura u en la longitud x de la barra com-
V = 10 puesta son
2
V = 10 ∂ u = ∂u 0 ≤≤1 2x /
a a ∂x 2 ∂t
V = 5 ∂ 2 u u ∂
r = 12/ ≤≤
x 1
x ∂ 2 t ∂
V = 0 donde u = temperatura, x = coordenada axial, t = tiempo, y r =
k /k . Las condiciones iniciales y de frontera son
a b
Figura P32.9
Condiciones de frontera u(0, t) = 1 u(1, t) = 1
∂ ⎞
∂ ⎞
⎛ u ⎛ u
⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ x = 1/2
∂ ⎠
V = 0 ⎝ x ⎝ x
∂ ⎠
y a b
Condiciones iniciales u(x, 0) = 0 0 < x < 1
Resuelva este conjunto de ecuaciones para la distribución de
V = 0 V = 70 2
x temperatura como función del tiempo. Utilice análogos de dife-
rencias finitas exactas de segundo orden para las derivadas, con
V = 100
formulación de Crank-Nicolson, para integrar en el tiempo.
Escriba un programa de computadora para la solución, y selec-
V = 0
y cione valores de ∆x y ∆t para una buena exactitud. Grafique la
temperatura u versus la longitud x para distintos valores de
1 1 1
tiempo t. Genere una curva separada para los valores siguientes
del parámetro r = 1, 0.1, 0.01, 0.001 y 0.
Figura P32.10 32.14 Resuelva la ecuación de conducción del calor transitiva
no dimensional en dos dimensiones, que representa la distribu-
ción de temperatura transitiva en una placa aislada. La ecuación
gobernante es
Ingeniería eléctrica
2
2
32.9 Realice el mismo cálculo que en la sección 32.3, pero para ∂ u + ∂ u = ∂u
el sistema que se ilustra en la figura P32.9. ∂x 2 ∂y 2 ∂t
32.10 Lleve a cabo el mismo cálculo que en la sección 32.3, donde u = temperatura, x y y son las coordenadas espaciales y t
pero para el sistema que se muestra en la figura P32.10. = tiempo. Las condiciones iniciales y de frontera son
Ingeniería mecánica/aereospacial
32.11 Lleve a cabo el mismo cálculo que en la sección 32.4, Condiciones de frontera u(x, 0, t ) = 0 u(x, 1, t ) = 1
pero cambie la fuerza a 1.5 y las constantes de los resortes a u( 0, y, t ) = 0 u(1, y, t ) = 1
Condiciones iniciales u(x, y, 0) = 0 0 ≤ x < 1 0 ≤ y < 1
Resorte 1 2 3 4
k 0.75 1.5 0.5 2 Resuelva con el empleo de una técnica alternativa de dirección
implícita. Escriba un programa de cómputo para implantar la
32.12 Efectúe el mismo cálculo que en la sección 32.4, pero
solución. Grafique los resultados con el uso de una rutina grafi-
utilice una fuerza de 2 y cinco resortes con
cadora de tres dimensiones en la que el plano horizontal conten-
ga los ejes x y y, y el eje z es la variable dependiente u. Haga
Resorte 1 2 3 4 5
varias gráficas en distintos tiempos, incluyendo lo siguiente a)
k 0.25 0.5 1.5 0.75 1
las condiciones iniciales; b) un tiempo intermedio, aproximada-
32.13 Una barra compuesta y aislada está formada por dos mente a la mitad del camino hacia el estado estable; y c) la
partes sujetas extremo con extremo, ambas con la misma longi- condición de estado estable.

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