Page 1160 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

图 27-5

极坐标系下的点 是错误的点, 因为它在第一象限. 正确的点在

第三象限, 如你在图中所见, 极坐标应为 .

我们错在哪儿了呢? 实际上, 我们由 tan(θ) = 1 推出 θ = π/4, 却忘了

2
另一个答案 θ = 5π/4. 我们还得到 r = 2, 所以 , 舍掉解

. 若再看一下上面的图, 可以看到点 (-1, -1) 也可以写成极坐标

. 若你的朋友面朝错误的点站在原点, 然后往回走 个单位,

他最后也能走到正确的点处.

现在我们有两种方式将 (-1, -1) 写成极坐标： 和 .

但这还不全, 在 θ 上加 2π 的任何整数倍也是一样的. 故, 该点可用的

所有极坐标如下：

(n 为整数).

这表明有无穷多对 (r, θ) 在两个族中, 它们都描述了平面中的同一个点

(-1, -1)! 幸运的是, 几乎在每一个问题中只需要一对 (r, θ), 习惯上选

择 r ≥ 0 且 θ 在 0 到 2π 之间的那对. 所以, 倘若你能理解这不是唯一

的极坐标形式, 知道 (-1, -1) 有极坐标 就可以了.

另外一些例子：笛卡儿坐标为 (0, 1)、(-2, 0) 和 (0, -3) 的点的

极坐标是什么？ 在相同坐标轴下画出这些点, 如图 27-6 所示.