Page 1156 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

27.2 极坐标

假设你的朋友站在一块很大的平地上, 你俩都认为那是原点所在. 你会

告诉他如何到达平地上的另一点. 如果利用笛卡儿坐标系, 你就会告诉

你的朋友走到点 (x, y), 意思是你的朋友应该向东走 x 个单位, 然后再

向北走 y 个单位. (你们得事先确定所用的单位.) 当然, 若 x 和 y 是负

的, 意味着你朋友要往回走一定的单位. 你的朋友也可以先向北走 y 个

单位, 然后再向东走 x 个单位, 仍然能到达相同的地点.

亦或, 你可以让你的朋友面朝东, 然后告诉他向逆时针方向转个角度

(还是站在原点). 若角度是负的, 意味着你的朋友是顺时针转. 然后, 让

你的朋友沿着他面对着的方向行进一定的距离. 若该距离是负的, 则向

相反方向行进. 此时与笛卡儿坐标 (x, y) 不同, 你朋友将到达 (r, θ),

这里 θ 是转过的角度, r 单位是行进的距离.

若你想描述的点是原点, 则可以告诉你朋友点为 (0, θ), θ 为任意角. 他

转过多少角度是没有关系的, 因为没有行进, 所以他还是在原点. 还可

以知道, 将 2π 加到角 θ 上没有差别, 他只是在 θ 基础上原地转一圈.

加 4π、6π 或其他任何 2π 的整数倍, 甚至负整数倍都是一样的, 加多

少得看你有多狠心了, 让你的朋友在原地无目的地旋转很多圈只会让他

眩晕! 现在来看看公式.