Page 1172 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

图 27-15

关于上述曲线的一些事实.

(1) 由 r = 1 + cos(θ) 确定的曲线称为心形线. 曲线

是蜗牛形曲线的一个例子, 而心形线是蜗牛形曲线的特例.

(2) 在 r = sin(3θ) 的图像中, 角 θ 只从 0 取到 π. 当 θ 从 π 取到 2π

时, 图像折了回来, 就像圆 r = sin(θ) 的情形一样.

(3) 曲线 r = θ / π 是阿基米德螺旋线的一个例子, 该曲线不是周期

的：随着 θ 的增加, 螺旋变得越来越大.

(4) 曲线 r = 2/(1 + sin(θ)) 看起来像一个抛物线. 实际上, 可以

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证明给定的方程在笛卡儿坐标下为 x = 4 - 4y.

27.2.3 求极坐标曲线的切线

幸运的是, 求极坐标曲线的切线就是求参数方程确定的曲线的切线的特

殊情形. 我们已经在第 27 章开始讨论过这一问题的一般求解方法. 我

们来看一下在极坐标下怎么运用这个方法.

我们有 r = f (θ), 要求该曲线上某点处的切线. 利用 x = r cos(θ) 和

y = r sin(θ), 我们有