Page 1174 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

我们知道了所求直线的斜率. 现在只需找到直线穿过的一个点. 显然那

个点的极坐标为 (2, π/3), 不过我们需要它的笛卡儿坐标. 因此, 只需用

x = r cos(θ) 和 y = r sin(θ) 来得到 x = 2 cos(π/3) = 1 和

. 太好了, 我们要求的直线过点 , 且斜率为

. 这条线为

稍加化简后得到答案

那这条曲线在原点处的切线呢？见 27.2.2 节中 r = 1 + 2

cos(θ) 的图像, 可以看到在那点应该有两条切线! 不过, 我们还是能求

出它们的方程. 事实上, 我们知道当 r = 0 时曲线过原点, 且在前一节

看到此时 θ = 2π/3 或 θ = 4π/3. 可以验证, 将这些 θ 值分别代入前

面 dy/dx 的方程可得到 和 . 由于两条切线过原点, 它们必有方

程 和 . 事实上, 这些直线补齐了对应于 θ = 2π/3 或

θ = 4π/3 的射线, 如 27.2.2 节图 27-8 上的虚线所示.

27.2.4 求极坐标曲线围成的面积