Page 1173 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

和 , 这意味着 x 和 y 都被 θ 参数化了.

根据第 27 章开始部分的公式, 我们有

这给出了通常的切线斜率. 最后, 只需代入我们所关心的 θ. 这就是该问

题的全部, 来看一下实例.

考虑极坐标下的曲线 r = 1 + 2 cos(θ). 我们在前一节画过该

曲线图像, 假设我们要求穿过极坐标为 (2, π/3) 的点的切线方程. 首先

检查一下这个点在曲线上吗？当 θ = π/3, 有 1 + 2 cos(θ) = 1 + 2

cos(π/3) = 2, 即给出了 r 的值. 所以该点的确在曲线上. 下一步, 我们

要求出切线的斜率 dy/dx. 我们有 x = r cos(θ) = (1 + 2 cos(θ))

cos(θ) 和 y = r sin(θ) = (1 + 2 cos(θ)) sin(θ), 需要求出 dy/dθ

和 dx/dθ. 不幸的是, 这里要用到积的求导法则, 不过还不算太糟, 自行

验证

和 .

所以, 我们有

我们想知道当 θ = π/3 时会怎样. 将其代入, 应该可得