Page 1175 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

若想求由极坐标曲线 r = f (θ) 围成的面积, 其中 f 假设是连续的, 则需

要求积分. 接下来呢？我们只需建立正确的黎曼和. (回顾黎曼和, 参见

16.2 节.) 假设我们取介于 θ 和 θ + dθ 间的一小块角. 这块角沿逆时

针移动, r 则从 f (θ) 缓慢移动到 f (θ + dθ). 若 dθ 很小, 则 r 不会距

离 f (θ) 很远, 所以可以用半径为 r = f (θ)、角为 dθ, 以原点为中心的

一小块饼图来近似所求的楔形, 如图 27-16 所示.

图 27-16

扇形的面积是半径平方的二分之一乘以扇形的角 (当然是弧度角). 所

以, 可以近似楔形的面积为 (平方单位), 即 . 当 θ 从 θ 0

变到 θ 时, 整个面积可通过将所有的楔形面积加起来, 并令 dθ 递减于
1
1
0 来得到. 即有 下面的积分：

1
要证明这个公式, 需要考虑 f (θ) 的最大值和最小值来确定面积的上和与下和, 其中 θ 取值
于 [θ , θ ] 的子区间, 然后证明当分割的区间趋于 0 时, 上和与下和都收敛于相同的值.
1
0