Page 1178 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

上面的定积分可以通过代入 θ = 2π 和 θ = 0 并相减 (即 3π) 而求得.

不幸的是, 这不是正确的答案. 问题出在当 θ 位于 2π/3 和 4π/3 之间

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时, r 为负. 由于面积公式中包含 r , 因此无法辨别正负面积. (这与笛卡

儿坐标下的情况大不相同, 在笛卡儿坐标系中, y 轴以下都为负.) 所以,

我们刚才求得的是在曲线 r = |1 + cos(2θ)| 里的面积, 如图 27-18

所示.

图 27-18

为了修正这个情况, 我们需要求竖轴左侧的小环内的面积, 然后从原面

积中减去两次. 为什么是两次？因为减去一次只是得到上图剩下的阴影