Page 1212 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

z
28.5 解 e = w

z
现在该讨论如何对给定的 w 求解形如 e = w 的方程了. 要是能写成

z = ln(w) 就好了, 但帮助并不大. 例如, 是多少呢？让我

们来回答这个问题.

z
n
幸运的是, 求解 e = w 并不比求解 z = w 难多少, 事实上, 若说有
什么区别的话, 就是求解更简单. 在讨论解法之前, 我们需要更多地理

z
解 e . 我们来看如果写成 z = x + iy 会发生什么. 我们得到

x
那又怎样？这里的关键是, 这已经是极坐标形式了. 模为 e , 幅角为 y.

x
x
如果你愿意, 也可写为 r = e (记住, e 是正实数), θ = y. 这意味着,
z
z
x iy
若 z 的笛卡儿形式是 x + iy, 则 e 自动有极坐标形式 e = e e .
n
z
所以, 求解 e = w 和 z = w 时的主要区别是, 前个问题中不必将 z
写成极坐标形式, 而后个问题中需要这样做. 这个问题还有个副产物,

z
即方程 e = w 有无穷多个解 (除非 w = 0, 在这种情况下方程无解).

我们来求解 . 我们已经将右边转换成了极坐标

2e i(5π/6) (参见 28.4 节). 为了处理左边, 要将 z = x + iy 写成笛卡儿

x iy
z
坐标, 所以 e = e e . 因此, 将原方程转换成极坐标形式, 可得