Page 125 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

最后, 还有一组恒等式值得我们学习. 这些恒等式涉及角的和与倍角公

式. 特别地, 我们应该记住下列公式：

还应该记住, 你可以切换所有的正号和负号, 得到一些相关的公式：

对于上述方框公式中的 sin (A + B) 和 cos (A + B), 令 A = B = x,

我们就会得到另一个有用的结果. 很明显, 正弦公式是 sin (2x) = 2

sin (x) cos (x). 但让我们更仔细看一下余弦公式. 它会变成 cos (2x)

2
2
= cos (x) - sin (x); 这本身没错, 但更有用的是使用毕达哥拉斯定
2
2
2
理 sin (x) + cos (x) = 1 将 cos (2x) 表示成为 2 cos (x) - 1 或
2
1 - 2 sin (x) (自已验证一下它们是成立的!). 综上, 倍角公式为：

那么如何用 sin (x) 和 cos (x) 来表示 sin (4x) 呢？我们可以将

4x 看作两倍的 2x, 并使用正弦恒等式, 写作 sin (4x) = 2 sin (2x)

cos (2x). 然后应用两个恒等式, 得到