Page 1254 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

我们来重复这个例子, 这次取水平小条. 现在我们要用圆盘法, 因

为每个小条的短边平行于旋转轴. 我们需交换 x 和 y, 因为旋转轴是垂

直的 (变式 1); 同样, 我们要把该区域看作平放在右曲线 x = 2 和左
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曲线 x = y 1/3 之间; 最后, 我们需将 x 代换为 x + 3(变式 3), 意思
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是将 x 代换为 x + 3 且将 x 代换为 x + 3. 所以这个例子运用了
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以上三个变式! 标准圆盘体积是 πy dx; 交换 x 和 y 可得 πx dy; 用 x
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+ 3 代换 x 得 π(x + 3) dy; 对该形式分别关于 x 和 x 从 1 到 8
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积分, 取差. 可得体积为

算出来仍为 259π / 10 立方单位. 至少我们得到了一样的答案! 同样,

最好你可以自己求圆盘体积.

至此, 我们已经有足够多关于旋转体体积的理论了, 要想掌握所有的变

式就必须多做练习. 现在是时候讨论求更一般立体体积了.

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