Page 1256 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

是轴上的任意一点. 最后一步是用面积乘厚度 dx 来近似切片的体积,

然后积分. 这步相当于把所有切片的体积加起来, 同时取切片最大厚度

趋于 0 的极限. 综上, 解题思路是：

(1) 选定一个轴;

(2) 求轴上点 x 处的切片横截面面积, 称该面积为 A(x) 平方单位; (3)

若 V 为立体的体积 (立方单位), 我们有

其中 [a, b] 是完全覆盖立体的 x 的取值范围.

相信我, 你一定要选一个使横截面越简单越好的轴. 最好能确保横截面

都很相似, 也就是它们互为不同大小的副本. 不过, 这个可能也不是总

有.

让我们用上述方法求一个 “广义” 锥体的体积. 这里的意思是, 在

平面上有面积为 A 平方单位的某个形状, 平面上方一定距离处有一顶

点 P , 如图 29-24 所示. 现在, 我们做从平面形状边上的每个点到 P

的线段, 这就得到一个底为起始形状的曲面. 我们要讨论的立体就是被

填充了的曲面, 或者说是曲面的内部. 图 29-25 为大概的曲面框架图.