Page 1253 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

很容易算出它为 163π/14 立方单位. 想一想能否通过求圆盘的体

积来验证这个答案 (小条是垂直的).

若此区域绕直线 x = 2 旋转呢？这其实是变式 1 和变式 3 的组

合, 由于旋转轴平行于 y 轴, 所以我们将交换 x 和 y, 并用 (2 - x) 代

换 x 来处理这个平移. 注意这里是 (2 - x) 而不是 (x - 2), 因为区域在

直线 x = 2 的左边. 同样, 积分应该从 1 到 8, 因为积分是关于 y 而不

是关于 x 的. 因此体积为

化简后为 8π/5 立方单位. 最好验证一下通过求圆盘体积也可求出该体

积, 不过注意, 这次我们将区域切成了水平小条, 就像变式 1 一样.

若我们让此区域绕 x = -3 旋转呢？开始有点乱了. 若我们用垂直

小条, 则需用壳法, 因为每个小条的短边垂直于旋转轴. 我们将组合使

3
用变式 2 和变式 3. 垂直来看, 区域在两个曲线 y = x (在顶部) 和
1
y = 1(在底部) 之间. 同样, 壳法标准公式中的 x 要替换为 (x + 3).
2

这意味着体积由

给出, 计算可得 259π/10 立方单位.