Page 1255 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

29.2 一般立体体积

大多数立体不能通过平面区域绕平面内某轴旋转而形成. 例如, 一个棱

锥没有曲面, 所以无论你怎么看, 它都不是旋转体. 求类似立体体积的

一个方法是切片法, 这是推广了 29.1.1 节的圆盘法.

把立体想象成一种蔬菜, 比如黄瓜或南瓜. 将它放在案板上切成薄的平

行的切片. 这些切片的大小不会全部相同, 甚至一个切片的两面也不一

样. 例如黄瓜, 靠近端部的切片会有点斜. 另一方面, 若切片很薄, 则它

的两面会很接近. 所以我们将取其中一面的面积乘上切片的厚度来近

似切片的体积 —— 取哪面都没关系. 然后我们将把所有切片的体积加

起来, 求切片厚度趋于 0 的极限.

在实践中, 这个过程有些复杂. 事实上, 有很多方法来切割立体. 例如,

若切平放的黄瓜, 则得到盘状的薄切片; 若切竖放的黄瓜, 虽然较难,

不过还是可行的, 你会得到大小不同的椭圆形切片. 或者, 将黄瓜倾斜

一个角度, 切得更小的椭圆形.

基本上, 你的选择是：选择一个轴, 它不必穿过立体. 所有的切片将垂

直于这个轴. 一旦选定了轴, 后续的思路就清晰了：求得每个垂直于该

轴的切片的横截面面积. 不同的切片有不同的面积. 所以, 要在轴上选

择一个原点和正方向, 然后算出穿过 x 的切片的横截面面积, 其中 x