Page 1261 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

图 29-29

在这两幅图中, 包括线段在内都是相似的 —— 一个是另一个的精确放

大. 这里有一个相似性的重要原理. 假设我们有两个相似图形, 且已知

两个图形中对应线段的长度. 当我们将一个图形放大到与另一个图形

一样大小时, 两条线段应该严格匹配. 那么, 两个图形的面积之比就是

对应线段长度之比的平方. 例如我们取两个正方形的瓷砖, 其中一个边

长是另一个边长的 3 倍, 则大瓷砖的面积是小瓷砖面积的 9 倍. 回到

上图, 底的面积是 A 平方单位, 横截面的面积是 A(x) 平方单位. 因此,

面积之比是对应线段长度之比的平方, 在本例中长度是 L 和 l, 则

化简并运用前面 l 的表达式, 可得

同样来验证一下：若 x = 0, 横截面为点 P , 此时横截面没有面积. 得

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到验证, 因为 A(0) = A × 0 /h = 0. 那 x = h 时呢？这时我们讨论