Page 1266 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

我们用虚线段 AB 的长度来近似 A 和 B 之间的曲线长度. A 与 B 越接

近, 近似程度就越好. 根据勾股定理, AB 的长度是 单位.

现在, 我们只需对很多小线段重复该过程, 就形成了对曲线的近似. 像

往常一样, 积分关注连加和极限部分, 要小心. 若只在小段长度

前加一个积分号, 会得到

弧长 .

问题是, 这个积分没有任何意义! 我们需要关于变量的积分. 幸运的是,

我们可以针对各种情形来调整上面的公式, 从而得到有意义的结果. 例

2
如, 你可以将因子 (dx) 移到根号外面, 将小段长度表示为
单位. 这看起来更可行. (这个变动其实需要证明, 不过

其细节超出了本书的范围. ) 不管怎样, 在下面的每个例子中, 我们将讨

论如何调整上面的基本公式来得到合乎情理的弧长公式.

(1) 若 y = f (x), 且 x 在 a 到 b 间取值, 则在上述被积函数中取因子

2
(dx) (如前所述) 并将其移到根号外面得

将其写成关于 f 的形式为