Page 562 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

13.1 最优化

使某样东西 “最优化” 意味着要使之尽可能地好. 由于我们是在讨论数

学, 因而这里将关注量而非质. 假设我们关心某个特定的量, 它可能是

数、长度、角度、面积、成本、收入, 等等. 如果它是好的事情, 就像

收入, 那么我们希望使之越大越好; 而如果它是不好的事情, 就像成本,

我们则希望使之越小越好. 简而言之, 我们想要让这个量最大化或最小

化. 所以在我们的语境中, “最优化” 仅仅意味着 “相应地最大化或最小

化”.

13.1.1 一个简单的最优化例子

在最近几章中, 我们已经花了相当多时间学习如何求函数的最大值和最

小值. 而涉及最优化时, 通常我们关心的是全局最大值和最小值. 在

11.1.3 节, 已经提到了一个解决这个问题的很好方法. 我强烈建议你现

在返回头看一下, 刷新一下记忆.

不论在哪种情况下, 都需要把这个量表示成另一个我们能控制的量

的函数. 例如, 假设有两个实数的和为 10, 并且每个数都不大于 8. 那

么这两个数的乘积最大可能是多少？最小又可能是多小？

在搬出我们的方法之前, 先试探一下情况. 如果其中一个数为 8(这是它

最大能取的值), 另一个数则为 2, 这时的乘积为 16. 而在另一个极端,