Page 567 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

假设只有 300 英尺长的篱笆可供使用, 并且农场主想使新圈出的地的

面积尽可能地大. 那么这块地的周长和面积分别为多少？

首先要识别出一些变量. 设三角形的底边为 b, 高为 h, 斜边为 H (单位

都是英尺), 并且面积为 A (单位为平方英尺), 如图 13-2 下图所示. 注

意到篱笆的长度为 h + H, 而我们想要最大化 A.

这样就完成了第 (1) 步. 接下来进入第 (2) 步, 考虑用 300 英尺的篱

笆可以做出的极端形状, 如图 13-3. 在第一种情况中, h 接近于 0, 而

b 和 H 都接近于 300, 但此时的面积很小! 在第二种情况中, b 接近于

0, 而 h 和 H 都接近于 150, 此时的面积依然非常小! 所以走中间路线,

我们应该可以做得更好. 至少已经可以确认, b 和 H 在 0 和 300 之间,

而 h 在 0 和 150 之间.

图 13-3

进入到第 (3) 步, 可以看出 A = bh/2 以及 h + H = 300. 但还需要

再多一个方程, 因为需要将 b, h 和 H 这三个变量精简为一个变量. 事

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实上, 可以使用勾股定理, 得到 b + h = H .