Page 563 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

如果两个数都为 5, 那么乘积为 25, 显然比 16 要大. 我们能使乘积比

25 还大或比 16 还小吗？要是这两个数分别为 和 又会怎样呢？

试试算一下.

现在, 让我们开始认真对待并设置一些变量. 假设这两个数分别为 x 和

y, 它们的乘积为 P . 于是可知有 P=xy. 我们想要最优化的量是 P , 但

它是两个变量 x 和 y 的乘积. 这并不是我们想要的, 我们真正想要的

是, 把 P 表示为一个变量的函数, 至于是其中哪个变量倒无所谓. 幸运

的是, 我们还有另一个已知信息：x + y = 10. 这意味着可以通过 y =

10 - x 把 y 消掉. 这样的话, 就有 P = x(10 - x), 即把 P 表示成了单

独 x 的函数.

不过, 这里有一点需要注意：P 的定义域是什么？当然, 可以在 P =

x(10 - x) 中任意代入一个 x 值, 并得到一个有意义的答案, 但对于 x,

我们其实还知道更多 (只不过尚没有用数学语言把它描述出来)：x 不

可能比 8 大. 事实上, 它也不可能比 2 小, 否则 y 就会比 8 大. 所以 x

必定位于区间 [2, 8] 中. 我们应该把这视为 P 的定义域.

这样就把该文字问题重新表述为：求函数 P = x(10 - x) 在区间 [2,

2
8] 上的最大值. 真不错! 我们只写出 P = 10x - x , 求导得到 dP/dx

= 10 - 2x. 当 x = 5 时, 导数为 0, 这是唯一的临界点. 也有可能在两

个端点 x =2 和 x =8 取到最大值或最小值. 所以潜在极值点列表包括

2, 5 和 8. 当 x = 2 或 x = 8 时, 有 P = 16; 当 x = 5 时, 有 P =