Page 675 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

图 16-2

像我们在 15.2.3 节中看到的, 只有把 x 轴下方的面积作为负面积来看

时, 才有意义. 如果在 x = a 和 x = b 之间的曲线的所有部分都在坐

标轴下方, 那么该积分一定为负的. 实际上, 该积分给出了有向面积的

大小. 更准确地表述如下.

注意积分只是个数, 但面积是有单位的.

从上一章中我们知道, 在时间 a 和 b 之间的一个物体的位移是两条垂

线 t = a 和 t = b, t 轴以及曲线 y = v(t) 所围成的有向面积. 路程同

位移的计算方法基本相似, 但有一点不同 (很关键), 那就是 y = |v(t)|.

用我们的符号可以表示如下.

对这个问题的理解是：从 t = a 开始, 以 t = b 结束. 注意该问题的虚

拟变量是 t, 被积函数分别是速度 v(t) 和速率 |v(t)|.

一些简单的例子