Page 717 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

即使这两个曲线都在 x 轴的下方, 这个结论也是成立的, 因为我们使用

的是有向面积. 例如, 如果函数 f 是在 x 轴的下方, 函数 g 是在 x 轴上

方, 这时积分 为负, 而 为正, 所以上述不等式依然是

成立的.

如果使用黎曼和, 那么证明上述结论是非常容易的. 不用考虑细节,

我们仅仅需要考虑划分, 并注意到对于任意一个 j 都有 f (c ) ≤ g(c ),
j
j
所以函数 f 的黎曼和小于函数 g 的黎曼和. 我把证明过程留给你了.

我们可以用速度和位移更好地解释上述公式. 假设在同一地点有两辆车

同时出发. 第一辆车在时刻 t 的速度为 f (t), 第二辆车在时刻 t 的速度

为 g(t). 因为速度的积分是位移, 所以上述结论中的公式可以解释为,

如果第一辆车的速度一直比第二辆车的速度小, 那么可以说第一辆车的

位移要比第二辆车的位移小. 你若这样考虑, 就很容易理解了. 如果我

们以右方向为正方向, 那么第一辆车永远在第二辆车的左边, 它永远不

可能到达第二辆车的右边.

一个简单的估算