Page 75 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

我们再次把负号提到前面来, 得到

嗯, 看起来这不是原始函数的负值, 因为分子上有个+1. 它也不是原始

函数本身, 所以函数 h 是非奇非偶的.

我们再看一个例子. 若想证明两个奇函数之积是偶函数, 该怎么做

呢？先给事物命名比较利于讨论, 我们就定义有两个奇函数 f 和 g. 我

们需要看一下它们的乘积, 因此定义它们的积为 h, 即定义了 h(x) = f

(x)g(x), 而我们的任务是要证明 h 是偶的. 像往常一样, 我们需要证

明 h(-x) = h(x). 因 f 和 g 都是奇的, 注意到 f (-x) = -f (x), g(-x) =

-g(x) 会有所帮助. 我们从 h(-x) 开始. 由于 h 是 f 和 g 的乘积, 有

h(-x) = f (-x)g(-x). 再利用 f 和 g 的奇函数性质将等式右边表示为

(-f (x))(-g (x)), 负号提到前面消掉, 由此得到 f (x)g(x), 而它当然等

于 h(x). 我们可以 (也应该) 把上述过程用数学式表示为

总之, 由 h(-x) = h(x) 可得函数 h 是偶函数. 现在你应该可以证

明两偶函数之积仍为偶函数, 奇函数和偶函数之积是奇函数. 马上试一

下吧!