Page 71 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

一般而言, 一个函数可能是奇的, 可能是偶的, 也可能非奇非偶.

要记住这一点, 大多数函数是非奇非偶的. 另一方面, 只有一个函数是

既奇又偶的, 它就是非常单调的对所有 x 都成立的 f (x) = 0(我们称

之为零函数). 它为什么是唯一的既奇又偶的函数呢？我们证明一下.

若函数 f 是偶函数, 则对所有 x 有 f (-x) = f (x); 但如果同时它又是

奇的, 则对所有 x 有 f (-x) = -f (x), 用第一个等式减去第二个等式,

得到 0 = 2f (x), 即 f (x) = 0, 这对所有 x 成立, 因此函数 f 一定是

零函数. 另一个有用的结论是, 如果一个函数是奇的, 并且 0 在其定义

域内, 则 f (0) = 0. 为什么呢？由于对定义域里的所有 x, f 都有 f (-

x) = -f (x), 我们用 0 试一下. 我们得 f (-0) = f (0), 但 -0 等于 0,

因此 f (0) = -f (0), 化简得 2f (0) = 0, 即 f (0) = 0.

不论如何, 对于一个函数 f , 怎么来判定它是奇函数、偶函数或都不是

呢？若是奇函数或偶函数又怎样呢？我们先来看下第二个问题, 然后

再讨论第一个问题. 当知道一个函数的奇偶性之后, 一个比较好的事情

就是画函数图像比较容易了. 事实上, 如果你能将这个函数的右半边图

像画出来, 那么画左半边图像就是小菜一碟. 我们先讨论当 f 是偶函数

时的情形. 因 f (x) = f (-x), y = f (x) 的图像在 x 和 -x 坐标上方具

有相同的高度, 且对所有的 x 都成立, 如图 1-10 所示.